limite de facula

cauchy
Grup: membru
Mesaje: 14
26 Dec 2014, 17:48

[Trimite mesaj privat]

limite de facula [Editează] [Citează]

1.
a(n+1)=sin a(n) a(0) apartine (0, pi/2)
dem ca: lim a(n)=0
lim a(n)*n^{1/2}= ?

2.
a(n+1)=arctg a(n), a(0)>0
lim a(n)*n^{1/2}=?

Pitagora
Grup: Administrator
Mesaje: 4750
16 Oct 2007, 18:22

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]
1.
a(n+1)=sin a(n) a(0) apartine (0, pi/2)
dem ca: lim a(n)=0
lim a(n)*n^{1/2}= ?

2.
a(n+1)=arctg a(n), a(0)>0
lim a(n)*n^{1/2}=?

Ca sa intelegem mai bine problemele, este vorba de urmatoarele?

1. Fie sirul definit prin

si

. Demonstrati ca

si calculati

2. Fie sirul definit prin

si

. Calculati

---
Pitagora,
Pro-Didactician

cauchy
Grup: membru
Mesaje: 14
16 Oct 2007, 18:57

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

da

Pitagora
Grup: Administrator
Mesaje: 4750
17 Oct 2007, 05:46

[Trimite mesaj privat]

limite de functii trigonometrice iterate [Editează] [Citează]

1. Fie sirul definit prin

si

. Demonstrati ca

si calculati

Solutie:

Consideram functia

. Cum

, iar multimea punctelor critice este formata doar din x=0, rezulta ca f este strict crescatoare. Rezulta ca

, adica

Se demonstreaza usor prin inductie ca

si folosind cele de mai sus

. Fiind monoton si marginit, sirul

este convergent. Fie

. Trecand la limita in relatia de recurenta a sirului, obtinem

. Dar

si folosind proprietatile functiei f rezulta ca l=0.

Fie

. Folosind teorema Cesaro-Stolz, avem

Am folosit faptul ca

(aplicam de 3 ori teorema lui l'Hopital pentru ultima limita).

Rezulta ca

2. Fie sirul definit prin

si

. Calculati

Solutie:

Consideram functia

. Cum

, rezulta ca f este strict crescatoare pe domniul de definitie. Ca o consecinta

, adica

.

Se demonstreaza usor prin inductie ca

si folosind cele de mai sus

. Fiind monoton si marginit, sirul

este convergent. Fie

. Trecand la limita in relatia de recurenta a sirului, obtinem

. Dar

si folosind proprietatile functiei f rezulta ca l=0.

Fie

. Folosind teorema Cesaro-Stolz, avem

Am folosit faptul ca

(aplicam teorema lui l'Hopital pentru ultima limita).

Rezulta ca

---
Pitagora,
Pro-Didactician

cauchy
Grup: membru
Mesaje: 14
17 Oct 2007, 13:01

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

multumesc!

cauchy
Grup: membru
Mesaje: 14
23 Oct 2007, 11:44

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]

Consideram functia

. Cum

,

acolo la derivata e

..nu?
in rest totu e ok si am inteles!
multumesc

Pitagora
Grup: Administrator
Mesaje: 4750
23 Oct 2007, 17:55

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]

[Citat]

Consideram functia

. Cum

,

acolo la derivata e

..nu?
in rest totu e ok si am inteles!
multumesc

Bineinteles aveti dreptate!

---
Pitagora,
Pro-Didactician

rzamfir
Grup: membru
Mesaje: 1
26 Dec 2014, 17:48

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]
1. Fie sirul definit prin

si

. Demonstrati ca (eroare: eq.2/52935)$\limx{n}{\infty}a_n=0$ si calculati (eroare: eq.3/52935)$\limx{n}{\infty}a_n\sqrt{n}$

Solutie:

Consideram functia (eroare: eq.4/52935)$f:\left(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right)\to\R, f(x)=x-\sin x$. Cum (eroare: eq.5/52935)$f'(x)=1-\sin x\ge 0$, iar multimea punctelor critice este formata doar din x=0, rezulta ca f este strict crescatoare. Rezulta ca (eroare: eq.6/52935)$f(x)>f(0)=0,\, \forall x\in(0,\pi/2)$ , adica (eroare: eq.7/52935)$x>\sin x\, \forall x\in(0,\pi/2)$

Se demonstreaza usor prin inductie ca (eroare: eq.8/52935)$a_n\in(0,\pi/2)$ si folosind cele de mai sus (eroare: eq.9/52935)$a_{n+1}=\sin a_n<a_n,\, \forall n\in\N$ . Fiind monoton si marginit, sirul (eroare: eq.10/52935)$(a_n)_n$ este convergent. Fie (eroare: eq.11/52935)$l=\limx{n}{\infty}a_n$. Trecand la limita in relatia de recurenta a sirului, obtinem (eroare: eq.12/52935)$l=\sin l\Leftrightarrow f(l)=0$. Dar (eroare: eq.13/52935)$l\ge 0$ si folosind proprietatile functiei f rezulta ca l=0.

Fie (eroare: eq.14/52935)$b_n=a_n\sqrt{n}$. Folosind teorema Cesaro-Stolz, avem
(eroare: eq.15/52935)$\limx{n}{\infty}b_n^2=\limx{n}{\infty}\dfrac{n}{\frac1{a_n^2}}=
\limx{n}{\infty}\dfrac{(n+1)-n}{\frac1{a_{n+1}^2}-\frac1{a_n^2}}=\limx{n}{\infty}
\dfrac{a_n^2\sin^2 a_n}{a_n^2-\sin^2a_n}=3$

Am folosit faptul ca (eroare: eq.16/52935)$\limx{x}{0}\dfrac{x^2\sin^2x}{x^2-\sin^2 x}=\limx{x}{0}\dfrac{\sin^2x}{x^2}\dfrac{x}{x+\sin x}\dfrac{x^3}{x-\sin x}=1\cdot\dfrac12\cdot \limx{x}{0}\dfrac{x^3}{x-\sin x}=\dfrac12\cdot6$
(aplicam de 3 ori teorema lui l'Hopital pentru ultima limita).

Rezulta ca (eroare: eq.17/52935)$\limx{n}{\infty}b_n=\sqrt3$

2. Fie sirul definit prin (eroare: eq.18/52935)$a_0>0$ si (eroare: eq.19/52935)$a_n=\arctg a_n,\,\forall n\in\N$. Calculati (eroare: eq.20/52935)$\limx{n}{\infty}a_n\sqrt{n}$

Solutie:

Consideram functia (eroare: eq.21/52935)$f:[0,\infty)\to\R,\, f(x)=x-\arctg x$. Cum (eroare: eq.22/52935)$f'(x)=1-\dfrac1{x^2+1}>0, \forall x>0$, rezulta ca f este strict crescatoare pe domniul de definitie. Ca o consecinta (eroare: eq.23/52935)$f(x)>f(0)=0,\, \forall x>0$, adica (eroare: eq.24/52935)$x>\arctg x, \,\forall x>0$.

Se demonstreaza usor prin inductie ca (eroare: eq.25/52935)$a_n\in(0,\pi/2)$ si folosind cele de mai sus (eroare: eq.26/52935)$a_{n+1}=\arctg a_n<a_n,\, \forall n\in\N^*$ . Fiind monoton si marginit, sirul (eroare: eq.27/52935)$(a_n)_n$ este convergent. Fie (eroare: eq.28/52935)$l=\limx{n}{\infty}a_n$. Trecand la limita in relatia de recurenta a sirului, obtinem (eroare: eq.29/52935)$l=\arctg l\Leftrightarrow f(l)=0$. Dar (eroare: eq.30/52935)$l\ge 0$ si folosind proprietatile functiei f rezulta ca l=0.

Fie (eroare: eq.31/52935)$b_n=a_n\sqrt{n}$. Folosind teorema Cesaro-Stolz, avem
(eroare: eq.32/52935)$\limx{n}{\infty}b_n^2=\limx{n}{\infty}\dfrac{n}{\frac1{a_n^2}}=
\limx{n}{\infty}\dfrac{(n+1)-n}{\frac1{a_{n+1}^2}-\frac1{a_n^2}}=\limx{n}{\infty}
\dfrac{a_n^2\arctg^2 a_n}{a_n^2-\arctg^2a_n}=3/2$

Am folosit faptul ca (eroare: eq.33/52935)$\limx{x}{0}\dfrac{x^2\arctg^2x}{x^2-\arctg^2 x}=\limx{x}{0}\dfrac{\arctg^2x}{x^2}\dfrac{x}{x+\arctg x}\dfrac{x^3}{x-\arctg x}=1\cdot\dfrac12\cdot \limx{x}{0}\dfrac{x^3}{x-\arctg x}=\dfrac12\cdot3=\dfrac32$
(aplicam teorema lui l'Hopital pentru ultima limita).

Rezulta ca (eroare: eq.34/52935)$\limx{n}{\infty}b_n=\sqrt{\dfrac32}$

---
zamfir