Fie functia

,

. Este funcția dată convexă pe R?

Părerea mea este că, funcția nefiind de două ori derivabilă, putem spune doar că aceasta este convexă pe (-infinit, 0] și pe [0, infinit), fiecare interval în parte.

Interesant este că această funcție este derivabilă pe R (evident și continuă), dar nu este de două ori derivabilă. Dacă este derivabilă putem să spunem și că această funcție este strict descrescătoare pe (-infinit, -1/2] și strict crescătoare pe [-1/2, infinit) , fără să mai facem discuția prin zero. Dacă am păstra funcțiile de pe ramuri, dar am schimba pe prima ramură condiția cu x<=0 și pe a doua x>0, am avea o funcție derivabilă pe R și strict crescătoare pe R.

[Citat] Fie functia , . Este funcția dată convexă pe R?

Am ajuns la concluzia că funcția dată este global convexă pe R, derivata a doua fiind pozitivă, doar dacă derivata nu ar exista în anumite puncte, doar atunci am putea face o distincție.

Așa cum ai spus, funcția ta nu este de două ori derivabilă pe R, dar asta nu contează. Teorema care se referă la convexitatea unor funcții derivabile pe un interval este următoarea.
Dacă o funcție derivabilă are derivata crescătoare pe un interval, atunci funcția este convexă pe acel interval.
Ori funcția ta are derivata crescătoare pe R, chiar dacă ea, derivata, nu este derivabilă pe R. În concluzie, f este convexă pe R.

Vă mulțumesc pentru explicații!