[Citat] Multumesc. % 1. % Se cere % lim[integrala(dela 0 la 1) x^n*cos(x^n)]/[integrala(de la 0 la 1) x^n*ln(1+x)]dx % x->infinit

Banuiesc ca ai vrut sa scrii n->infinit. Aceasta este o problema care iarasi depaseste programa. Se poate face in limitele programei, dar cu complicatii inutile. Ideea este sa integrezi prin parti atat numaratorul cat si numitorul:

Este oarecum clar ca integralele din ultima fractie tind la zero: integrala de la numarator contine

care converge punctual la zero (aici putem aplica o teorema de convergenta pentru integrale ce se studiaza in facultate, SAU ne chinuim un pic cu epsilon si delta). Integrala de la numitor este pozitiva si se majoreaza cu

, deci tinde si ea la zero.

[Citat] % 2. % Se cere interala de la 0 la 3pi din dx/(2+cosx)

Folosim substitutia trigonometrica standard

. Atunci

Problema e ca nu putem aplica acest fapt pe intreg intervalul

, deoarece functia tangenta NU este definita pe tot intervalul. In schimb, nu este greu de observat ca, deoarece graficul functiei cosinus are dreptele

ca axe de simetrie, avem

Nu vreau sa intru in amnunte legate de integrala improprie de mai sus.

[Citat] % 3. % Fie a real , si P din R[X] un polinom cu proprietatea % P(1)+P(2)+...+P(n) = n^7 + a , n natural diferit de 0 % Se cere P(a).

Scrii relatia pentr n si n-1, scazi, si...

Fiind polinom, rezulta

, deci a=0 si

.

[Citat] % 4. % Se cere multimea vaolirlor lui m real a.i. ecuatia % 2^x + 3^x = mx+2 sa aiba numar minim de solutii

Functia

este convexa, derivata ei are limita infinit catre infinit respectiv 0 catre minus infinit. De asemenea, x=0 este intotdeauna o solutie. cazurile in care ecuatia are solutie unica sunt:

• Panta functiei liniare din membrul drept este negativa:
  
  
  
• Panta functiei liniare din membrul drept este EGALA CU DERIVATA membrului stang in x=0, adica:
  
  
  

Asadar,

[Citat] % 5. % Se cere limita sirului % xn= {(3+2sqrt(2))^n}^[(3+2sqrt(2))^n] , unde {x} - partea fractionara a lui x , n natural

Fie

. Atunci

(binomul lui Newton), dar

. Cum A>1>B, rezulta

Deoarece puterile lui A converg la infinit, limita este egala cu