[Citat] [Citat] 2.Se cere numarul : arctg (1/3) + arctg(1/5) + arctg(1/7) + arctg(1/8) Sursa http://utcluj.ro/admitere/culegere_de_probleme.php Folosim de trei ori identitatea , valabila pentru orice si obtinem ca suma din enunt este .

Cum as putea deduce formula ?

[Citat] [Citat] Folosim de trei ori identitatea , valabila pentru orice si obtinem ca suma din enunt este . Cum as putea deduce formula ?

Folosind formula

Trebuie insa sa fii atent la unghiuri. Totul functioneaza perfect atata timp cat unghiurile sunt in intervalul

. Daca

atunci

...

[Citat] 1.Fie Sn , n natural diferit de 0 , multimea solutiilor ecuatiei Sn(x) = sinx *sin2x*sin3x*...*sinnx = 1 Se cere S100.

Vom arata ca

. In particular rezulta

.

Fiecare din factorii produsului este cuprins intre -1 si 1. Pentru ca produsul sa fie 1, este necesar ca fiecare factor sa fie

. Dar daca

, atunci

, deci

. Atunci

, deci produsul nu poate fi niciodata 1.

[Citat] 4.Se cere multimea valorilor lui m din R pt care este constanta pe R.

Daca functia E este constanta, atunci in particular

Pentru m=0, avem

Pentru m=4, avem

Deci

[Citat] 2.Fie ecuatia (sinx+cosx)^n - a *sinx*cosx + 1 = 0. , n natural , a din R. Se cere x pt n=1 si a = 3.

Indicatie:

.

Mai ramane sa studiem ecuatia originala in cele 3 cazuri sa vedem daca nu am introdus radacini suplimentare prin ridicare la patrat.

A) sin x=0

B) cos x=0

C) sin x cos x=-4/9

[Citat] [Citat] 4.Se cere multimea valorilor lui m din R pt care este constanta pe R. Daca functia E este constanta, atunci in particular Pentru m=0, avem Pentru m=4, avem Deci

De ce se ia E(0) si E(pi/4) si nu alte valori ?
Cum se arata ca 2arccos(3/5) = arccos(-7/25)?

[Citat] [Citat] [Citat] 4.Se cere multimea valorilor lui m din R pt care este constanta pe R. Daca functia E este constanta, atunci in particular Pentru m=0, avem Pentru m=4, avem Deci De ce se ia E(0) si E(pi/4) si nu alte valori ? Cum se arata ca 2arccos(3/5) = arccos(-7/25)?

• Acele valori sunt luate in mod convenabil, pentru a obtine o ecuatie in 'm'. Evident, pentru ca sa obtinem o ecuatie decenta, alegem valori 'frumoase'.
  
• Functia arccos ia valori in intervalul
  
  . Deoarece
  
  rezulta ca
  
  . In plus,
  
  
  
  

Cum fac :
1.
lim (1 - cosxcos2xcos3x...cosnx)/[(sinx)^2]
x->0

2.

Se cere m astfel incat sistemul sa aiba solutii reale :

x + y + mz = 0 , x + my + z = 0 , mx + y + z = 0 , x^2 + y^2 + z^2 = 4 , m real.

3.

Ecuatia x^n + x ^(n-1) + x^(n-2) + ... + x - 1 = 0 are o radacina reala si pozitiva . Daca notam xn aceasta radacina atunci lim(la infinit) din xn este ?

4.
Multimea solutiilor inecuatiei este ?

lg((x-1)^8) < 8 lgx

(mie mi-a dat x din (1,infinit) insa raspunsul corect e (1/2,1) U (1,infinit)

[Citat] Cum fac : 1. lim (1 - cosxcos2xcos3x...cosnx)/[(sinx)^2] x->0 2. Se cere m astfel incat sistemul sa aiba solutii reale : x + y + mz = 0 , x + my + z = 0 , mx + y + z = 0 , x^2 + y^2 + z^2 = 4 , m real. 3. Ecuatia x^n + x ^(n-1) + x^(n-2) + ... + x - 1 = 0 are o radacina reala si pozitiva . Daca notam xn aceasta radacina atunci lim(la infinit) din xn este ? 4. Multimea solutiilor inecuatiei este ? lg((x-1)^8) < 8 lgx (mie mi-a dat x din (1,infinit) insa raspunsul corect e (1/2,1) U (1,infinit)

1. Limita e nedeterminata, deci putem aplica regula lui l'Hopital. Derivata numaratorului este

iar derivata numitorului este

. Noua limita este

si este egala cu

2. Sistemul are solutii reale daca si numai daca sistemul omogen

are solutii nenule. E clar ca aceasta conditie e necesara, in caz contrar am avea 0=4, absurd. Aceasta conditie este si suficienta, pentru ca, avand o solutie nenula

pentru o valoare convenabila a numarului

, solutia

satisface si ultima ecuatie (cea nelineara). Or, sistemul omogen are si solutii nenule daca si numai daca

3. Procedam dupa cum urmeaza:

• Pentru orice n, functia
  
  
  
  este strict cresc\u atoare pe
  
  
  
• Deoarece
  
  
  
  rezulta ca sirul
  
  este descrescator. Fiind format din termeni pozitivi, este CONVERGENT.
  
• Este usor sa calculam
  
  
  
• Pentru n>2 avem
  
  
  
  Notam
  
  . Fiind descrescator, deoarece
  
  
  
  putem trece la limita in relatia de mai sus. Obtinem
  
  
  
  Pe undeva prin subiectele de bac este o problema asemanatoare.
  

4. Conditiile initiale sunt

(logaritmul din membrul stang contine o putere PARA). Avem

De aici rezulta

din care trebuie sa eliminam x=1 ca exceptie in conditiile initiale. Probabil ti-a scapat acea valoare absoluta.