Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Cereri de rezolvari de probleme » Suma primilor n termeni in progresie aritmetica
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
florin011
Grup: membru
Mesaje: 62
26 Jun 2012, 10:37

[Trimite mesaj privat]

Suma primilor n termeni in progresie aritmetica    [Editează]  [Citează] 

Buna seara!
Dupa cum se stie,celebra formula pentru calcularea sumei primelor n termeni dintr-o progresie aritmetica este
.
Intrebarea mea este.. Cum se poate demonstra aceasta formula folosind proprietatile unei progresii aritmetice ? Sau altfel ?
E doar o simpla curiozitate :D.

enescu
Grup: moderator
Mesaje: 3380
20 Jun 2012, 22:31

[Trimite mesaj privat]


De curiozitate: aţi consultat un manual de matematică?

Dacă nu, http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression#Sum

florin011
Grup: membru
Mesaje: 62
20 Jun 2012, 22:53

[Trimite mesaj privat]


Nu,nu am consultat pentru ca nu am unul la indemana.. Multumesc de link,m-am lamurit acolo..Peste tot unde cautai gasi doar formula,fara explicatie.O sa acord mai multa atentie wikipediei, pe viitor .

gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 5228
21 Jun 2012, 00:41

[Trimite mesaj privat]


[Citat]
Buna seara!
Dupa cum se stie,celebra formula pentru calcularea sumei primelor n termeni dintr-o progresie aritmetica este
.
Intrebarea mea este.. Cum se poate demonstra aceasta formula folosind proprietatile unei progresii aritmetice ? Sau altfel ?
E doar o simpla curiozitate :D.


Deoarece e mai mult de o simpla curiozitate si se vede clar dorinta de intelegere, o sa incerc sa scriu cateva propozitii.
(Avertisment: Eu cand ma apuc sa scriu nu ma termin usor.)

Bun. Eu o sa aleg forma pentru "primii" n termeni ai unei progresii aritmetice in modul urmator:

a + r -> termenul indexat cu 1,
a + 2r -> termenul indexat cu 2,
a + 3r -> termenul indexat cu 3,
:
:
a + nr -> termenul indexat cu n, n numar natural de la 1 incolo.

Sa adunam termenii de mai sus.
Dam de

na + (1+2+...+n)r

si acum avem o mica problema, cea de a calcula 1+2+...+n printr-o "formula inchisa". (Traduc asa ceea ce se numeste "closed formula" sau "geschlossene formel" in alte limbi.)

Ideea este in acest caz simpla si accesibila. Calculam mai usor dublul.
Vrem deci sa stim ceva fara "puncte-puncte" despre
2 (1+2+...+n) .
(Si in enunt aparea undeva un numitor doi...)

Ei bine,

2 (1+2+...+n)
=
(1+2+...+n) + (1+2+...+n)
=
(1+2+...+(n-1)+n) + (n+(n-1)+...+2+1)
=
(1+n) + (2+(n-1)) + ... + ((n-1)+2) + (n+1)
=
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) loc in care adunam de n ori (n+1)
=
n(n+1).

Bun.
Inseamna ca

na + (1+2+...+n)r

este

na + n(n+1) r / 2 .

Putem da un n factor comun. Ne uitam la ceea ce trebuie demonstrat si lucrurile se termina repede.


Bine, mie imi place sa povestesc, asa ca o sa mai scriu cateva propozitii.
Formula data este o formula care se scrie pentru progresii aritmetice.
O progresie aritmetica este data daca stim a-ul si r-l de mai sus. (De exemplu.)

Ne uitam atunci la formula data si incercam sa ii vedem dependenta de acesti "atomi" ai structurii, a si r. Ei bine, o prima observatie esentiala este faptul ca avem ceva liniar in a si r. (Polinom homogen de gradul 1 in a si r. Coeficientii sunt mai urati, au ceva de-a face poate cu n, nu ne intereseaza aici.)

"Ceva liniar" inseamna ca atat membrul stang cat si membrul drept reprezinta un polinom liniar homogen in a si r. Daca intelegem aceste lucruri, inseamna ca in fiecare membru avem de-a face cu o expresie de forma

(ceva) a + (altceva) r .

Ei bine, vrem sa izolam pentru o demonstratie "sofisticata structural" coeficientii in a respectiv r de pe ambele parti.
Cum facem asta?
Studiem pur si simplu cele doua cazuri speciale:

a=0 si r=1
a=1 si r=0 .

Inseamna ca am inteles / demonstrat formula, daca am facut acest lucru pentru

1,2,3,...,n si
1,1,1,...,1

Sper ca e clar ca trebuie pana la urma sa intelegem doar 1+2+...+n = ? .




---
df (gauss)
florin011
Grup: membru
Mesaje: 62
21 Jun 2012, 15:21

[Trimite mesaj privat]


Da,cat se poate de clar! Multumesc !

petrebatranetu
Grup: moderator
Mesaje: 2843
26 Jun 2012, 10:37

[Trimite mesaj privat]


Putem judeca si asa:
. Scriu suma si asa:
.
Adun relatiile ,tin cont ca in orice progresie aritmetica suma termenilor egal departati de capete este aceeasi si avem:
,deci



---
Doamne ajuta...
petre
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  42749 membri, 49022 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ