Care este numarul maxim posibil de axe de simetrie pe care le poate avea o multime de n>=2 puncte distincte în plan?

Daca n=2 avem doua axe de simetrie, pentru cele doua puncte, dreapta determinata si mediatoarea.

Pentru n>2 luam un poligon regulat cu n varfuri, dam de n axe de simetrie.
(Orice dreapta prin varf si centrul cercului circumscris este axa de simetrie.)
(Grupul de simetrii al poligonului regulat cu n varfuri este grupul diedru D(2n) care are 2n elemente, de aceea notatia asa in unele carti, n rotatii si n reflexii.)

Nu vreau sa dau nici o demonstratie, problema nu cred ca se indreapta spre ceva structural cand incercam sa plasam patru puncte
- fie in varfurile unui patrat
- fie in varfurile unui triunghi echilateral si unul ramas in centru
urmand sa comparam 3 cu 4...

Astfel de probleme indreapta omul in directii complet gresite.
(O directie buna ar fi sa incercam sa intelegem grupul diedru...)

Am ajuns intr-un secol in care ne intrebam daca chiar avem timp sa demonstram cate o propozitie... De putut putem, dar timpul lucreaza impotriva noastra.

Totusi...imi puteti da ,va rog frumos, o demonstratie?

Desigur, sa incercam anume impreuna!

Cele n varfuri ale unui poligon regulat nedegenerat cu n varfuri sunt un caz fericit al unei constelatii cu n axe de simetrie, anume cele n drepte ce unesc cate un varf cu centrul cercului circumscris poligonului.

Sa aratam ca acest numar, n este maximal.

Presupunem prin absurd ca nu este asa.
Atunci exista o figura (mie necunoscuta) cu n puncte si n+? > 2 axe de simetrie.

De ce trec toate aceste axe de simetrie printr-un punct O ?
Rog a se raspunde la aceasta intrebare!

Desigur ca avem un numar finit de axe de simetrie.
Luam cu grija doua dintre ele, (a) si (b), drepte in planul celor n puncte,
cu proprietatea ca unghiul dintre ele este minim.

Notam cu R(a) si R(b) reflexiile fata de dreapta (a) respectiv (b).

Care este grupul generat de aceste doua reflexii?

In ce conditii avem un grup finit?

Ce alte reflexii se afla in acest grup? Ce este de exemplu R(b) R(a) R(b), conjugata reflectiei fata de (a) prin reflexia fata de (b) ?

Daca notam cu <Reflexii> submultimea reflexiilor din acest grup si cu <AxeDeSimetrie> multimea dreptelor corespunzatoare, in cate sectoare este impartit planul de aceste axe de simetrie si cum pot si inserate cele n puncte in aceste "sertare"? (Da, stiu, "sertarele" au muchii, dar linistim repede si cazul in care avem "ceva pe muchii".)