Sa se demonstreze ca bisectoarele unghiurilor unui patrulater inscriptibil intersecteaza cercul circumscris patrulaterului in patru puncte care sunt varfurile unui dreptunghi.
Daca laturile patrulaterului si ale dreptunghiului se taie in alte patru puncte, atunci acestea sunt varfurile unui trapez isoscel.

P.S. Am adaugat un "Daca" la a doua fraza, ca sa fie mai clar (acest caz corespunde unei restrictii pentru pozitiile punctelor A,B,C,D si anume A, B respectiv C,D (sau oricare 2 consecutive si respectiv celelalte 2 consecutive) trebuie sa fie a.i. sa fie de o parte si de alta a 2 laturi opuse ale dreptunghiului generat de intersectia bisectoarelor patrulaterului cu cercul circumscris acestuia - numai astfel se obtin exact patru puncte de intersectie).

Nu am de gand sa-ti dau o demontratie a problemei ci o demostratie a modului in care folosesc un applet pentru vizualizarea figurii. Mai mult, in fisierul pe care-l asociez, vei vedea si timpul necasar pentru a realiza figura, ce-i drept, dinamica! Daca merita sau nu, ramane sa afli singur!
Asadar, pentru o poza buna (!?) vezi http://www.geocities.com/costica562001/patrIscrProDid.html
In acest timp puteam sa rezov multe altele! Dar ... asta e!
Numai bine,

[Citat] Sa se demonstreze ca bisectoarele unghiurilor unui patrulater inscriptibil intersecteaza cercul circumscris patrulaterului in patru puncte care sunt varfurile unui dreptunghi. Daca laturile patrulaterului si ale dreptunghiului se taie in alte patru puncte, atunci acestea sunt varfurile unui trapez isoscel. P.S. Am adaugat un "Daca" la a doua fraza, ca sa fie mai clar (acest caz corespunde unei restrictii pentru pozitiile punctelor A,B,C,D si anume A, B respectiv C,D (sau oricare 2 consecutive si respectiv celelalte 2 consecutive) trebuie sa fie a.i. sa fie de o parte si de alta a 2 laturi opuse ale dreptunghiului generat de intersectia bisectoarelor patrulaterului cu cercul circumscris acestuia - numai astfel se obtin exact patru puncte de intersectie).

1. Nu te condamn ca ai cosmetizat enuntul! E vechi pacatul si ... nu esti primul vinovat! Dar m-ai lasat fara obiectul muncii; cine citeste cele doua comentarii nu-si mai poate da seama de logica lor pentru ca nu stie in ce ordine au fost scise. Deci, daca modifici o problema asupra careia ti s-a atras atentia sau ai vazut singur ca nu e buna, dar INTRE TIMP S_AU BAGAT ALTII PE FIR, cred ca e firesc sa adaugi un comentariu cu noi precizari.
2. As vrea sa dai chiar tu demonstratia folosind si completand fisierul atasat de mine (bineinteles, o copie!). Creaza un fisier cu rezolvarea, posteaza-l undeva ( si aici s-ar putea gandi .... grecii nostri cei iubiti la o alta LADITA DE NISIP unde sa plasam temporar anumite fisiere utile. Stiu ca nu e usor cu protejarea site-ului, dar merita incercat! ), si pune un link pe Forum. De ce spun asta? Vreau sa faci si tu ceva din ceea ce vor altii, nu numai altii sa traga pentru tine!! (E o gluma!) As fi fericit daca ai invata sa folosesti applet-ul indicat (Geometrie.zip) pentru ca vad ca esti intr-o invazie de idei! Foloseste-o cat te tin balamalele si nu te-ai .... reciclat!
Numai bine,

Sorry, trebuia sa "citez" textul initial al problemei si sa fac corecturile pe aceasta din urma postare, mai ales ca dumneavoastra ati intervenit cu un raspuns pe marginea postarii originale. Tarziu mi-am dat seama ca am omis acel "daca", esential pentru problema. In timp cat am absentat dumneavoastra ati lucrat, iar eu am prostul obicei sa mai "corectez pe viu"(desi precizez acest lucru).

Nu voi mai repeta aceeasi greseala.

O intrebare suplimentara:

Cunoscand faptul ca orice trapez isoscel este inscriptibil, sa se calculeze (functie de laturile a,b,c,d ale patrulaterului initial), raza cercului circumscris acestui trapez.

[Citat] Nu am de gand sa-ti dau o demontratie a problemei ci o demostratie a modului in care folosesc un applet pentru vizualizarea figurii. Mai mult, in fisierul pe care-l asociez, vei vedea si timpul necasar pentru a realiza figura, ce-i drept, dinamica! Daca merita sau nu, ramane sa afli singur! Asadar, pentru o poza buna (!?) vezi http://www.geocities.com/costica562001/patrIscrProDid.html In acest timp puteam sa rezov multe altele! Dar ... asta e! Numai bine,

Fie patrulaterul inscriptibil ABCD.
Notam cu A', B', C', D' punctele de intersectie ale bisectoarelor unghiurilor A, B, C, respectiv D cu cercul circumscris lui ABCD.
Trasam patrulaterul A'B'C'D' si diagonalele (care sunt chiar 2 diametre - pentru constructie corecta).
Trasam segmentele AC', B'D, CA', D'B.

Tinem seama de proprietatile patrulaterelor inscriptibile (in demonstratie nu mai precizez in care au loc relatiile):
- suma unghiurilor opuse este 180 grade;
- unghiul format de o diagonala cu o latura este egal cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa primeia.

rezulta

.

rezulta

.
Rezulta A'B'C'D' dreptunghi.

Notam:

Atunci A"B"C"D" este trapez isoscel deoarece:

(segmente situate pe laturile opuse ale dreptunghiului) si

avand suplementele egale (ca o consecinta a egalitatilor:

si

).