Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea pentru:




Multumesc anticipat!

Putem folosi reducerea la absurd astfel:
presupunem prin absurd ca a,b,c nr. diferite de 0, rationale. Atunci cum (b radical de ordinul 3 din doi + c radical de ordinul 3 din patru) va fi numar irational => a + (b radical de ordinul 3 din doi) + (c radical de ordinul 3 din 4) va fi nr. irational. Dar din ipoteza avem ca a + (b radical de ordinul 3 din doi) + (c radical de ordinul 3 din 4) = 0 care este nr rational , deci presupunerea facuta este falsa => a=b=c=0.

[Citat] Putem folosi reducerea la absurd astfel: presupunem prin absurd ca a,b,c nr. diferite de 0, rationale. Atunci cum (b radical de ordinul 3 din doi + c radical de ordinul 3 din patru) va fi numar irational => a + (b radical de ordinul 3 din doi) + (c radical de ordinul 3 din 4) va fi nr. irational. Dar din ipoteza avem ca a + (b radical de ordinul 3 din doi) + (c radical de ordinul 3 din 4) = 0 care este nr rational , deci presupunerea facuta este falsa => a=b=c=0.

De ce are loc afirmatia marcata cu rosu de mai sus?
(Aceasta afirmatie este echivalenta in mod imediat cu enuntul, daca ignoram enuntul si notam numarul cu pricina cu -a.)

Solutia de preferat merge poate mai usor in modul urmator.

O sa notez cu R acel radical de ordinul 3 din doi in cele ce urmeaza.
Ni se da deci relatia:

a + bR + cRR = 0

cu a,b,c numere rationale.

Daca cumva unul din cele trei numere rationale a,b,c se anuleaza,
atunci dam de una din relatiile

a + bR = 0 ,
a + cRR = 0 , (caz in care inmultim cu R pentru a da de 2c + aR = 0)
b + cR = 0 ,

si de aici folosim faptul ca R este irational pentru a vedea ca acel coeficient al lui R se anuleaza, de unde si al treilea coeficient se anuleaza. Am terminat astfel.

Ramane sa vedem ce facem daca stim ca nici unul din cele trei numere a,b,c nu se anuleaza.

Inmultim relatia cu R si obtinem paralel:

a + bR + cRR = 0 si
2c + aR + bRR = 0 .

(Este bine sa vedem doua polinoame de gradul II cu solutia comuna R, deci cu factorul comun (x-R), apoi sa incercam sa aplicam algoritmul lui Euclid pentru a scadea din grad.)

Eliminam partea in RR.
Inmultim prima ecuatie cu b, a doua cu c si le scadem.
Dam de

( ab - 2cc ) + (bb - ac)R = 0 .

Deoarece R este numar irational, dam imediat de
bb - ac = 0 si (apoi) de
ab - 2cc = 0 .

De aici
a = bb/c = 2cc/b .

Deci bbb = 2 ccc .
Extragem radicalul de ordinul trei (in IR) si dam de
b/c = R ,
contradictie cu irationalitatea lui R = radical de ordinul trei din doi.

Nota:
Irationalitatea lui R rezulta din unicitatea descompunerii in factori in numere naturale. Daca am avea cumva

R = m / n
cu m,n naturale nenule, fara divizori comuni (i.e. fractia m/n este ireductibila),
atunci dam de

2 = mmm / nnn

deci

2 nnn = mmm,
deci 2 divide m, scriem m = 2m', inlocuim si dam de

nnn = 4 m'm'm', deci 2 divide partea dreapta, deci si cea stanga, deci 2 divide (cel putin unul din cei trei factori) n, contradictie cu ireductibilitatea fractiei m/n .

Va rog sa incercati sa folositi LaTeX.

In definitiv, definitivatul se adreseaza celor ce lucreaza cu elevi si cu materiale matematice pentru elevi, ei bine, LaTeX-ul este in momentul de fata singurul mod de a tipari matematica (si acest singur mod vine cu calitate si usoara utilizare).

TeX-ul initial a fost adus pe lume de catre Donald Knuth, un om in care merita sa avem incredere, pagina de fata nu ar fi fost posibila (asa cum este) fara munca lui de pionierat. Limbajul a fost facut mai confortabil pentru utilizator de catre Leslie Lamport, estetica deosebita se vede destul de usor. Este bine sa ne uitam la aceste poze...

http://en.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
http://en.wikipedia.org/wiki/Leslie_Lamport