Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea subpunctului b:







Multumesc anticipat,

nu ati scris nimic...!

Da asa este. Scuze. Am uitat sa atasez...

Care sunt primii doi termeni ai sirului?
Este functia data strict monotona?

Daca avem cumva
x0 > x1 si aplicam functia data , dam de f(x0) > f(x1) poate, deci x1 > x2 .

Deci sirul nostru este inductiv foarte repede strict monoton.
Este el si marginit (inferior)?

Cautam punctul fix al lui f, incercam sa rezolvam
f(x) = x .

Numeric:
(22:16) gp > solve( x=-1000 , 0, x - log( sqrt( (x^2+1)/2 ) ) )
%28 = -0.3027304042805769760760000393

In orice caz, functia continua care trimite
x
in f(x) - x
ia valorile:

in x=0 valoarea f(0) - 0 = ln( radical(1/2) ) = -(ln 2) / 2 < 0

in x=-1 valoarea f(-1) - (-1) = ln( radical(2/2) ) + 1 = 0+1 > 0

deci exista (cel putin) o solutie a ecuatiei f(x) = x intre -1 si 0 .
Sa o notam cu A .

Facem acelasi rationament plecand cu
A < x1 < x0 si aplicand repetat functia strict crescatoare f .
Vedem ca sirul este monoton descrescator si marginit inferior de catre A .
Deci converge la o limita L.

Trecand la limita in relatia de definitie a lui x(n) rezulta ca limita L satisface relatia L = f(L) .

Daca vrem mai multe despre valoarea lui L, ramane sa cautam toate punctele fixe ale lui f ...
Dar problema nu cere asa ceva.