[Citat]
http://gradul2.files.wordpress.com/2011/11/2005_grad.pdf
La aceste subiecte, as vrea sa stiu cum se rezolva 1c,d si 2.Totusi, as vrea sa stiu daca am facut corect la celelalte, si anume:
Problema 1
a)
este descompunerea in R[X]
si pentru descompunerea in C[X] observ ca radacinile lui f sunt radacinile de ordin 5 ale unitatii, fara 1. Deci,
Atunci, f=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) este descompunerea in C[X].
b)daca f ar fi reductibil in Q[X] ar trebui sa se descompuna in polinoame de gradul I, dar acestea nu au coeficientii in Q.
Problema3
Locul geometric al acelor puncte este mediana din P.
|
Va rog sa postati si enuntul sau parti din el daca se poate, cei ce raspund pot folosi franturi de cod. In cazul de fata, la 1 macar, enuntul este usor de inserat.
(a) Descompunerea in R[X] de mai sus este cam asa, totusi coeficientul liber trebuie sa fie unu (dupa multiplicarea parantezelor). Probabil ca trebuie sa punem explicit mana pe radacini pentru a da de descompunerea peste C. (Altfel puteam la cea peste R sa scriem tot ceva criptic cu sume si produse de cele patru radacini primitive de ordinul 5 ale unitatii.) Lucrul acesta este simplu, deoarece trebuie doar sa mai rezolvam doua ecuatii de gradul II.
In mod normal se rezolva din prima ecuatia reciproca data. Substitutia $t=x+1/x$ ne duce repede la liman.
Alternativ in cazul de fata, deoarece stim ca radacinile sunt radacini ale unitatii ce vin doua cate doua conjugate, ne asteptam sa avem o descompunere de forma
(b) Nu e bine. Polinomul (xx+x+1) (xx-x+1) vine cu descompunerea peste ZZ, dar nu este reductibil. Argumentul mai trebuie aranjat. Probabil ca ajunge sa spunem:
- f nu are radacini peste Q (si aici chiar e bine sa spunem de ce. Daca ar avea, atunci s sau t de mai sus ar fi din Q, daci radical(5) in Q, contradictie.)
- daca f ar fi reductibil peste Q, atunci am avea o descompunere ca produs de doua polinoame de gradul II. Fie cautam toate solutiile pentru o astfel de descompunere, fie argumentam cumva cu radacinile pe care le stim, fie pomenim de lema lui Gauss care ne spune ca avem o descompunere peste ZZ, daca este una peste QQ, de aici avem mai usor de potrivit s,t-ul si (plus/minus unu) pe coeficientii ce lipsesc, dar cel mai bine pomenim de generalizarea data de criteriul lui Eisenstein.
http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein's_criterion
(c) Solutia scurta: F este inelul cat Q[X] / (f) deci este inel in primul rand. Deoarece f este ireductibil peste Q, dam de un corp. Gata.
Solutia per pedes observa ca F este parte stabila la +, -, x . Doar cu inmultirea (x) avem probleme poate, dar daca inmultim si ni se ridica gradul, mai impartim ... la f cu rest si luam restul in loc. Restul e un polinom de gradul 3, scriem u in loc de x...
Ramane sa vedem ca orice element nenul este inversabil.
Aici fie stim ceva de teorie Galois si calculam Norma
N( a uuu + b uu + c u + d ) care se afla in QQ
(nu explicit, ci ca produs de conjugate) si exprimam "ceilalti trei factori" tot in functie de u, asta e o solutie calitativa, care nu ne ajuta la (d),
fie spunem ca in Q[X] avem algoritmul lui Euclid care ne permite sa scriem ceva de forma
f p + (axxx +bxx + cx + d) q = 1
pentru doua polinoame p,q, de gasit. (Ele exista, deoarece f si paranteza sunt prime intre ele.)
(d) Cautam p si q mai sus in
f p + (xxx +x)q = 1 .
Deja vedem cu ochiul liber ca putem lua p = 1 si q = ( -x - 1) .
Scriem acum in loc de x-uri u-uri.
2.
(a) Ramane sa aratam ca exista un unic polinom P de grad 3 cu valorile
P(a), P'(a),
P(b), P'(b),
prescrise. Cine stie de functii "spline" a terminat deja.
Daca nu scriem un sistem (de cei patru coeficienti ai lui P), ne uitam la determinantul lui si vedem ca este nenul.
Desigur ca nu ne ajunge un polinom de grad 2, deoarece mai sus avem un sistem cu solutie unica in care putem usor sa aranjam ca acel coeficient in grad III sa fie nenul.
Access general
Conţine mesaje necitite
