Buna! O sa scriu repede ceva, avand grija de lucrurile unde mai pot fi impotmoliri, desi nu vad multe. Daca sunt intrebari, rog a se pune! (Nivelul nu conteaza, conteaza sa fie totul clar!)
(I)
(a) Derivand F dam de f.
(b) Functia sin se anuleaza pe multiplii de pi. Avem o combinatie liniara de sinusuri care se refera atunci la multiplii de multiplii de pi...
(c) Sa zicem ca f este mai mare sau egala cu zero. Atunci F este monoton crescatoare. Dar F este si periodica de perioada 2 pi. Repede ajungem la concluzia ca F este constanta. Uitandu-ne la F(x) si F(-x) vedem ca F este impara. Deci F este functia identic nula.
(d) Daca F=0, atunci f = F' = 0.
(e) Se scrie produsul de functii trigonometrice ca suma de functii trigonometrice. Astfel dam de primul calcul in analiza Fourier.
Formule analoage se scriu si cu sinusuri in loc de cosinusuri.
(Dam de un sistem ortogonal... Se mai ia si functia constanta unu ca sa avem un sistem ortogonal complet in spatiul...)
(f) Daca integram 0 = F(x) sin( ?x) de la 0 la ?? dam pe de o parte de zero, pe de alta parte de un coeficient putin deformat...
(Acesta este de asemenea un element de baza in analiza Fourier, izolarea coeficientilor unei serii trigonometrice.)
(II)
(a) Fie inductie - lucru sigur,
fie "vedem" ca avem doua polinoame cu coeficienti reali, de grad n, care coincid in punctele 0; -1,-2,..., -k, ... , -n. care sunt (n+1) la numar.
(Valoarea in -k este o suma alternata de combinari(k, ?) care este (1-1) la puterea k.)
(b) Trebuie sa aratam ca polinomul de grad n
(X+1)(...)(X+n) / n!
ia pe ZZ numai valori din ZZ.
- o posibilitate este sa ne uitam la fiecare numar prim ce intra in factorizarea lui n!, sa-i stim puterea cu care divide exact n! si sa vedem ca cel putin aceasta putere intra in fiecare produs de numere intregi consecutive (t+1)...(t+n) .
- o alta posibilitate foloseste inductia si reducerea folosind "diferente divizate".
Sa observam mai intai ca pentru n=0,1,2,3 propozitia este usor de justificat.
Presupunem acum ca este adevarata pentru un (n-1) fixat.
Ne uitam la n.
In (0 si) -1,-2,...,-n avem valori intregi pentru
(X+1)(...)(X+n) / n!
lucru usor de vazut.
Sa observam acum ca daca in t avem o valoare intreaga, atunci (si numai atunci) avem si in t+1 o valoare intreaga, deoarece diferenta urmatoare este intreaga...
(t+2)(...)(t+n+1) / n! -
(t+1)(...)(t+n) / n!
deoarece ea se reduce la un polinom de acelasi tip pentru (n-1)-ul din ipoteza de inductie... La fel se face si trecerea de la t la t-1. (Este partea cu numai atunci.)
(c) Fie B = -xA, tot o matrice din inelul de matrici 3x3 peste C, nilpotenta.
Atunci I-B are inversa
I + B + BB + ...
si ne oprim cu "seria" cand dam de matricea zero ca putere.
(Daca stim de polinoame minimale nu trebuie sa asteptam pana la puterea 2009 pentru o matrice 3x3.)
(d) Acesta este un caz exemplar de deformare...
In primul rand vedem ca u(x) = det( I+xA ) este un polinom de x de grad cel mult trei. Presupunem mai intai prin absurd ca acest polinom nu este un polinom constant, ci x apare intr-adevar (cu un coeficient nenul) in grad cel putin 1.
Ne uitam atunci la egalitatea
pentru n suficient de mare. (Sa zicem 100000000000000000000000000000000.)
In stanga avem un polinom de x de grad cel putin n.
In partea cea mai din dreapta, dezvoltam cu formula binomului, ne oprim la o putere, in cel mai rau caz la puterea 2009, deci avem de calculat determinantul unei matrici cu 3x3 intrari cu intrarile polinoame de grad cel mult 2009.
Obtinem o contradictie.
Deci u(x) este un polinom constant, deci egal cu u(0)=1.
(e) f3(A) este matricea
1/3! (A+I)(A+2I)(A+3I)
=
3!/3! (I+A)(I+A/2)(I+A/3)
=
(I+A)(I+A/2)(I+A/3) .
(Pentru cei pedanti, se scrie mai bine (1/2).A in loc de A/2, in liceu avem numai o operatie de inmultire cu scalari din stanga.)
Die punctul precedent, matricile A, A/2 si A/3 sunt nilpotente, deci determinantul cautat este
det( (I+A)(I+A/2)(I+A/3) ) = det(I+A) det (I+A/2) det (I+A/3) = 1.1.1 = 1 .
(III)
(1)
Aleg experimentul.
(a) Definitia
Definitia (mea) este:
Avem o problema relativ teoretica de inteles si demonstrat, dar nu intelegem cu ce se digereaza, nu avem nici macar exemple si nici nu stim sa facem propozitii cu ipoteza sau cu obiectele din ipoteza.
Ei bine, atunci incepem sa facem pitute mici, vedem cum merge problema si incercam sa ne ajutam de calculator sau de desene pe cazuri particulare.
(b) Caracterizarea problemei.
Care problema? Eu nu am nici o problema cu experimentul, ajunge sa incep sa experimentez.
(c) Un exemplu de utilizare la disciplina matematica.
Se ia problema
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=31638
de a imparti numerele { 0,1,2,..., 2^n-1 } in doua parti de aceeasi cardinalitate, astfel incat suma puterilor de ordin (n-1) pe prima parte, respectiv pe a doua sa coincida.
La inceput nu avem nici o idee.
Ne uitam la {0,1,2,3} mai intai. Cum putem sa o imp... dam repede de 0+3 = 1+2.
Ne uitam apoi la {0,1,2,3,4,5,6,7} . Scriem patratele... {0,1,4,9,16,25,36,49} Incercam prin potrivire sa vedem care grupari merg. Fie suntem norocosi, fie programam (experimentam in mod organizat) mai bine:
M = [ k^2 for k in [0..7] ]
sum(M)
sum(M)/2
for P in Combinations( M, 4 ):
if sum(P) == sum(M)/2: print P
Rularea este un copy+paste si ne da..
[0, 9, 25, 36]
[1, 4, 16, 49]
Deci spargerea este {0,3,5,6} U {1,2,4,7}
Suntem incurajati sa facem acelasi lucru si pentru
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} cu puterea a treia,
M = [ k^3 for k in [0..15] ]
sum(M)
sum(M)/2
for P in Combinations( M, 8 ):
if sum(P) == sum(M)/2: print P
Repede dam de
[0, 27, 125, 216, 729, 1000, 1728, 3375]
[1, 8, 64, 343, 512, 1331, 2197, 2744]
scriem multimile corespunzatoare, si cam terminam cu experimentul, e timpul sa mai si gandim.
Alt exemplu ar fi calculul integralei unei functii prin metoda Monte-Carlo.
(Nici nu ma gandesc sa iau o diviziune echidistanta... Secolul asta a inceput cu nebunii de astea in domeniul financiar.)
De exemplu, in loc sa calculez ca omul
las masina sa isi ia uniform aleator N=100 puncte pe intervalul [0,1], calculez media functiei in aceste puncte...
Sa comparam asadar:
sage: N = 100000
sage:
sage: lista = [ random() for k in [1..N] ]
sage: valori = [ y*log(y+1) for y in lista ]
sage: sum( valori ) / N
0.25004296362434103
sage:
sage: integrate( x*log(x+1), (x,0,1) )
O data am experimentat, o data am calculat.
Alt exemplu este calculul probabilitatii ca distribuind cartile de bridge pe cel putin una din axe sa fie mai mult de 25 de puncte de onor. Este clar ca experimentarea se va analiza cu licitatie, iar axa cu punctele va insista sa joace dona respectiva, daca ea a aparut...
(2) Aleg calculatorul, deoarece nu stiu ce sunt fisele, filmele sau aparatele.
Modul de integrare este convingerea cadrului sa ii dea drumul si sa invete de la elevi.
Un exemplu de utilizare adecvata este instalarea de linux pe el, instalarea tuturor softurilor matematice, si jocul cu
xaos,
http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php .
Daca mai sunt oameni care credeau ca urasc matematica, isi dau seama ca identificau matematica cu o persoana sau alta.
(3) Un exemplu de extemporal ar fi:
- (*) Exista solutii pentru ecuatia n! = 6n+1 ? (n numar natural) - raspuns scurt.
- (**) Care dintre urmatoarele triunghiuri nu are arie numar rational?
... Triunghiul cu varfurile in (3,4) si (19,27635) si (728635,1)
... Triunghiul echilateral inscris in cercul de raza 1
... Triunghiul dreptunghic isoscel inscris in cercul de raza 1
... Triunghiul cu laturile de lungimi 5,12,13
... Triunghiul cu laturile de lungimi 5,6,7
- (***) Sa se arate ca cercul celor noua puncte are centrul...
Access general
Conţine mesaje necitite
