Fie
parametrii reali.
Fie
un punct al elipsei
Din
se duc tangentele
?i
la elipsa
S? se arate c? ortocentrul triunghiului ABC este situat pe elipsa
.
...am reeditat in enunt si mai jos intr-un loc in care mi-am stricat de asemenea homogenitatea... In ecuatia elipsei (E2) am un 1 pe partea dreapta in ce am trimis, dar nu mi se mai ia...
Încerc s? dau o solu?ie. Desigur c? cu mâinile goale este greu de rezolvat a?a ceva.
Nu cunosc nici un rezultat asem?n?tor. Dan Barbilian a fost poate ultimul matematician european cu o mare afinitate pentru astfel de rezultate. Deoarece eu am o afinitate pentru el, încerc s? rezolv cât de mult în spiritul lui.
Geometrie analitic?.
Fie
. Folosind aceste coordonate, putem ob?ine rapid punctele de tangen??
din enun?. Pentru aceasta trebuie s? rezolv?m sistemul de ecua?ii în necunoscutele
:
Prima ecua?ie exprim? condi?ia ca tangenta in
la elipsa
s? treac? prin
. Cea de-a doua ecua?ie cere ca punctul
s? fie pe
.
Solu?iile
le not?m alternativ astfel încât s? avem
?i
. Atunci punctele
cu
sunt ca func?ii de
determinate de formulele:
Care este ortocentrul triunghiului
?
Pentru aceasta deschid o parantez? mai lung?.
Care sunt coordonatele
ale ortocentrului triunghiului
unde vârfurile sunt date de coordonatele
ca func?ii de cei sase parametrii? Presupunem aici c? triunghiul dat nu este degenerat.
Am avut de mai multe ori necazuri cu aceast? tem?.
Mi--am dedus cândva formule, pe care nu le--am mai g?sit nic?ieri.
De aceea le scriu aici. Formulele nu sunt simple, de aceea, pentru a avea o ?ans? mnemotehnic? introducem nota?ii ajut?toare. Consider?m vectorii cu trei componente reale:
Aici, indicele superior T st? pentru transpunere, prefer s? v?d ace?ti vectori ca vectori coloan?. Rog a nu se confunda
cu produse scalare. În cele ce urmeaz? nu folosesc
nic?ieri produse scalare.
De asemenea, din context va fi clar dac?
st? pe post de num?rul
sau pentru vectorul cu trei componente toate egale cu
. Definim sau mai degraba not?m pentru trei vectori cu câte trei componente
num?rul "brichet?" (nu este traducere, ci un fel de paronim interlingvistic al cuvântului englez "bracket")
Atunci
, a ortocentrul triunghiului
, este dat de formulele
A? patenta a?a ceva, dar nu ?tiu unde. Cel târziu atunci, cineva îmi va spune ale cui sunt formulele. În leg?tur? cu nota?iile introduse este poate bine s? fac câteva observa?ii.
În primul rând, numitorul aproape comun este, f?când abstrac?ie de semn, legat de aria triunghiului dat. De aceea acest numitor nu se anuleaz? dac? triunghiul este nedegenerat. În formul? avem simetria potrivit c?reia dac? schimb?m
între ele, atunci se schimb? si rolurile pentru
. Apar si dou? determinante Vandermonde
de aceea uneori calculul formulei se simplific?.
Revin la problema dat? cu elipsele.
Pentru a determina coordonatele ortocentrului $H(h,k)$ al triunghiului $ABC=AB_+B_-$ introducem nota?iile:
unde puterile sunt alese de a?a natur? încât gradul de homogenitate s? fie înc? transparent ?i calcul?m mai întai determinan?ii urm?tori:
De aceea putem calcula coordonata
a ortocentrului
prin formula brichetelor, iar de aceea prin simetrie (schimbând in acela?i timp
cu
?i
cu
) ?i pentru
,
iar cel târziu acum cu ajutorul unui computer ob?inem:
În sfâr?it putem s? ne leg?m de ecua?ia elipsei
observând c? dac?
satisfac aceast? ecua?ie, atunci
satisface ecua?ia elipsei
.
Access general
Conţine mesaje necitite
