II. (1)
Intr-un inel axiomele se exprima folosind notatia obisnuita cu 0 si 1. (Zero si unu...) Daca avem acum matrici, din motive de confuzie didactica mai multe manuale folosesc in loc de notatii cu cifre notatii cu litere, O si I. Pentru ca paranoia sa fie completa, cand apar si mai multe dimensiuni de matrici, manualele indexeaza aceste litere cu un n. Personal refuz aceasta notatie, daca avem de rezolvat o problema in care inelul de matrici e fixat. Dar in fine, daca vor ei I indice trei si eu vreau nota mare le scriu si I indice trei. Atunci ei trebuie sa respecte conventia paranoida si sa-mi scrie si O indice trei. Cel mai bine trebuie sa mi se specifice in problema daca acel O este litera O sau zero, in ambele cazuri elementul neutru din inelul dat, tot asa cum mi se definieste in problema si I indice trei.
Notatiile inteligente simplifica gandirea si calculul.
Un exemplu este "inventia notationala" a lui dx in calculul integral. Ea este motivata de faptul ca omul intelege mai bine substitutia si in plus a condus la geometria diferentiala moderna.
Mai exista notatii ce incearca sa distinga obiecte diferite, de exemplu in cazul in care scriem un morfism de inele de la ZZ la corpul cu doua elemente si facem propozitii de forma zero merge in zero (si unu in unu). De fapt trebuie sa distingem cele doua zerouri (in notatie - de exemplu mai acut daca vrem sa aratam *si scriem* ca nu exista si morfism in sens invers), dar cei ce sesizeaza problema sunt maturi destul sa foloseasca notatie dubla. Si in C++ au voie oamenii sa "incarce" obiecte si operatii cu mai multe sensuri.
In ultima instanta exista si notatii de natura birocratica in care birocratii ne arata ca noi nu am ajuns la nivelul lor de birocratie. Ei vor insista sa vada peste tot un I indice trei in solutii si pentru ei trebuie sa definim in prima linie I egal cu I indice trei... Lucrul acesta nu face decat sa departeze elevii de matematica.
Solutia este acum mai simpla:
(a) Matricile A si I comuta. De aceea putem descompune expresia
AAA - 3AA + 3A - I = NNN cu N = (A-I),
matrice "nilpotenta" deoarece ridicata la a treia da zero. In general, matrici (patrate) ce au zero pe si sub diagonala sunt nilpotente. Tot inmultind astfel de matrici mai dam de un "etaj diagonal" ce se anuleaza.
(b) Avem A = I+N, unde I si N comuta. Putem aplica formula binomiala si toti termenii cu NNN in ei se duc. Raman in expandarea lui A la n
pentru n mai mare sau egal cu doi doar
I
+ (combinari de n luate cate 1) N +
+ (combinari de n luate cate 2) NN .
Pentru n=1 dam de A, caz special.
(2) In general avem teorema de transport de structura, esentiala in algebra:
Fie ( A cu multe sau putine operatii ) o structura algebrica realizata pe o multime A.
Fie f o functie
bijectiva definita pe A cu valori intr-o multime "amorfa" X. Fie g inversa ei.
Folosind f si g "se duce structura algebrica unic" de pe A pe X. De exemplu, daca pe A este definita o operatie +, atunci o putem duce pe X (si nota tot cu +) prin relatia:
In cuvinte, se iau elemente x,y in X.
Se duc prin g in elementele corespunzatoare a=g(x), b=g(y) in A.
In A avem structura. Aplicam operatia de acolo si dam de c=a+b.
Ducem prin f acest c inapoi in X.
Dam de un element din X.
Cu aceasta poveste definim transportul de structura.
Transportul de structura se aplica si pe "chestii particulare" -daca exista pe A- cum sunt elementele 0 si 1 intr-un inel, luarea inversului (ne asteptam ca sa avem luarea inversului pe X sa corespunda prin f,g cu cea de pe A), etc.
Si acum, daca omul intelege principiul si daca vede "orb" relatia de mai sus, problema propusa se rezolva in doua-trei propozitii, pomenind transportul de structura, faptul ca o functie anumita de colo colo e bijectiva si rescrierea:
(3) Deoarece nu am timp, rezolv cu calculatorul (cer scuze). Dar cei ce au auzit de dezvoltarea in serie Taylor a functiei log(1+x) ca functie de x nu au nici o surpriza...
(a) Pentru x=0 se calculeaza f(0) = 0. Apoi pentru x>0:
sage: taylor( log(1+x), x, 0, 6 )
-1/6*x^6 + 1/5*x^5 - 1/4*x^4 + 1/3*x^3 - 1/2*x^2 + x
sage: f(x) = log(1+x) - x + x^2/2
sage: taylor( f(x), x, 0, 6 )
-1/6*x^6 + 1/5*x^5 - 1/4*x^4 + 1/3*x^3
sage: diff(f,x)
x |--> x + 1/(x + 1) - 1
sage: diff(f,x) . factor()
x |--> x^2/(x + 1)
sage: solve( diff(f,x)(x) == 0, x )
[x == 0]
sage: limit( f(x) / x , x = oo )
+Infinity
Punctul x=0 este deci zero absolut.
(b) Deoarece limita de mai sus este infinita nu avem asimptota (oblica, deci nici orizontala) la infinit.
(c) Din formula pentru derivata lui f rezulta ca f este strict crescatoare, deci f(x) > f(0) = 0 . Astfel obtinem o inegalitate. Pentru cealalta se studiaza asemanator monotonia lui x-ln(1+x)...
(d) Consideram termenul general al sirului.
Tragem un logaritm pe el.
Din produs dam de suma.
Cu (c) avem minorari si majorari pentru fiecare sumand.
Majorarea (obtinuta ca "suma de majorari") se calculeaza usor ca fiind
(1+2+...+n) / (nn)
si tinde desigur la 1/2.
Pe partea cealalta mai avem ceva "zgomot alb" in minus, dar acesta tinde la zero (polinom de gradul 3 in n supra polinom de gradul patru in n) cand n tinde la infinit. Dam usor de limita din problema aplicand functia continua exp, inversa lui ln.
Subiectul (III)
Cele doua metode coincid, daca sunt aplicate in cooperare cu metoda de a veni la ora cu intarziere de 40 de minute...
Access general
Conţine mesaje necitite
