(1+?2)put n +(1-?2)put n apartine lui Z si subiectul III titularizare 2004?

Eu nu am inteles ce se da, unde s-a dat si ce se cere de fapt.
In plus nu inteleg de ce oamenii cum intra pe un site nou prescurteaza fara rost, ca si cand ar fi un chat room cu sine insusi.
Avem destul de inteles in viata asta, sa avem in plus si ghicitori de matematica combinate cu cele de limba romana in acelasi timp?

Fie n un numar natural.
Atunci aplicand formula binomiala pentru cele doua expresii

observam ca

termenii in care il ridicam pe (radical din doi) la o putere para sunt atat in A(n) cat si in B(n) (respectiv egali si) naturali, iar

termenii in care il ridicam pe (radical din doi) la o putere impara sunt in A(n) si in B(n) respectiv de semne opuse.
Rezulta ca suma A(n) + B(n) este un numar natural.

Un exemplu in care folosim calculatorul este urmatorul:

sage: A(n) = (1+sqrt(2))^n
sage: B(n) = (1-sqrt(2))^n

sage: A(10)
(sqrt(2) + 1)^10
sage: A(10) . expand()
2378*sqrt(2) + 3363

sage: B(10) . expand()
-2378*sqrt(2) + 3363

sage: A(10) + B(10)
(sqrt(2) - 1)^10 + (sqrt(2) + 1)^10
sage: ( A(10) + B(10) ) . expand()
6726

sage: ( A(100) + B(100) ) . expand()
189482250299273866835746159841800035874
sage: A(100) . expand()
66992092050551637663438906713182313772*sqrt(2) +
94741125149636933417873079920900017937
sage: B(100) . expand()
-66992092050551637663438906713182313772*sqrt(2) +
94741125149636933417873079920900017937

(Am exitat ceva cu mana dialogul cu interpreterul lui sage...)

Nota: sage este liber, www.sagemath.org si face calcule "exacte" in sensul ca de exemplu mai sus nu incearca sa "aproximeze" radicalul din doi cu un numar zecimal... Sper ca e clar ce se intampla in problema. In general ajuta pana la nivel de facultate... Exemplul de mai sus l-am dat cu rol didacti, sper ca asa se intelege cum merg lucrurile.

Tema de casa:
Sa se arate ca pentru orice n intreg expresia urmatoare este un numar natural:

Tema de casa ceva mai grea:
Partea intreaga a lui E(2010) da restul 1 la impartirea cu 3.
Partea intreaga a lui

da restul 1 la impartirea cu 3.

[Citat] Tema de casa ceva mai grea: Partea intreaga a lui E(2010) da restul 1 la impartirea cu 3.

Nu. Restul e 2.

[Citat] Nu. Restul e 2.

Multumesc, cer scuze, partea intreaga nu are ce sa caute peste un numar intreg, daca oamenii respecta principiul economiei... Am vrut sa cer restul impartirii cu rest la 3 pentru partea intreaga a lui

... Voi reedita mai sus...

[Citat] Partea intreaga a lui da restul 1 la impartirea cu 3.

Nu sunt acasa,n-am nici macar hartie si creion,asa ca incerc o solutie "in direct" (mai mult pentru mine).Tinand cont de cele scrise mai sus putem scrie:

Dar

Asa ca putem scrie ca

Si demonstram (cred ca si inductiv)ca

Cred ca este valabila si relatia de recurenta

,si apoi cred ca merge inductie.

PS.Sper ca nu am scris prostii mari...