Fie

,

Sa se studieze daca:
a) ecuatia x=f(x) are o singura solutie pe [0,

);
b) sirul

definit de

apartine [0,

),

, n=nr. nat, este convergent
c) exista

si limita(n->infinit) (

).
d) exista

si calculati

a) Consideram functia

care este derivabila si are derivata

. Semnul derivatei este acelasi cu semnul lui expresiei "tg x-1", deci functia h este strict descrescatoare pe

si strict crescatoare pe

. Cum h(0)=0 si

, rezulta ca ecuatia h(x)=0 are in afara de solutia x=0 si o alta solutie pe intervalul

b) Din studiul functiei h de la rezolvarea punctului a), deducem ca f(x)<x pentru orice

. In consecinta, se arata usor prin inductie ca sirul

este strict descrescator si cu toti termenii in intervalul

. Fie

. Trecand la limita in relatia de recurenta obtinem h(l)=0 si de aici (conform punctului a)) obtinem l=0.

c) Folosind regula lui l'Hopital si aranjand convenabil termenii obtinuti la derivare, obtinem ca prima limita este 2.

Pentru a doua limita folosim teorema Cesaro-Stolz. Avem

In final am folosit limita de la inceputul acestui punct c).

d) Notand

, avem

. Folosind un rezultat de Analiza anul I facultate, avem

Dupa ceva munca trigonometrica avem

si mai departe

Astfel conform teoremei lui l'Hopital, avem

Pe de alta parte

Am folosit faptul ca ultimele doua integrale sunt egale (schimbare de variabila in una din ele)

Multumesc f.f. mult pt. indicatii