[Citat] Se incumetata cineva sa rezolve problemele de la titularizare 2009 Bucuresti?

Daca le-ati fi postat, poate ca pe caldura asta, unii incercau! Evident, acasa cu copiute si alte surse!
Numai bine,

1.Fie o multime {1,2,....,n}. Calculati probabilitatea ca o submultime de 4 elemente sa fie formata din elem unei progresii artimetice.
2. Fie legea x*y=xy-2x-2y. Determinati a apart R ai G=[a,+infinit)sa fie parte stabila a lui R.
3. Calculati lim x->infinit din 1/x integrala de la 0 la x din 1/4+cost dt .

[Citat] 1.Fie o multime {1,2,....,n}. Calculati probabilitatea ca o submultime de 4 elemente sa fie formata din elem unei progresii artimetice.

Observam pentru inceput ca ratia maxima q ,a progresiei trebuie sa verifice relatia:

de unde rezulta imediat ca:

.Asadar,

Ne propunem acum sa determinam nr.

alprogresiilor aritmetice cu 4 elemente formate cu elemente ale multimii {1,2,...,n}
Pai, pr. aritm.
cu ratia 1 si 4 elemente avem:
1,2,3,4
2,3,4,5
...
n-3,n-2,...,n;
cu ratia 2 si 4 elemente avem:
1,3,5,7
2,4,6,8
...
n-6,n-4,n-2,n
s.a.m.d.

Asadar,

.Efectund calculele si inlocuind q cu valaorea gasita mai sus,obtinem in final:

Pe de alta parte nr. submultimilor cu 4 elemente ce se pot forma cu elem multimii {1,2,...,n} sunt in nr.de

In final,gasim probabilitatea cautata ca fiind egala cu

Obs.Probabilitatea ca eu sa fi gresit la calcule este relativ mare,deci va rog verficati-le.
Later edit: Cred totusi ca ar trebui facute calculele si in q,rezultatul obtinut mai sus fiind valabil intr-un caz particular.

[Citat] 3. Calculati lim x->infinit din 1/x integrala de la 0 la x din 1/4+cost dt

Facem substitutie u=tg(t/2) si folosim formulele de transformare:

Care e o integrala simpla.

Am postat de asemenea si sub de tit_2009 Constanta..http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=23&ID=23249 Unele dintre acestea mi se par o adevarata provocare (ex.I.1)!

Doar un comentariu...

Problema cere calculul asa zisei medii Cesaro pentru functia speciala data f,

Functia data fiind continua, integrala exista.

Functia fiind periodica de perioada
$T=2\pi$, se poate arata in plus in general,
ca de fapt media Cesaro este atunci

In cazul nostru, e timpul sa folosim computere pentru a avea/tipari solutia:

Rularea acestui cod maxima este...

[Citat] [Citat] 3. Calculati lim x->infinit din 1/x integrala de la 0 la x din 1/4+cost dt Facem substitutie u=tg(t/2) si folosim formulele de transformare: Care e o integrala simpla.

Este drept ca integrala este simpla, dar pe fiecare interval de forma

avem o alta constanta.
Dificultatea este de fapt in lipirea acestor bucati si apoi la calcularea limitei.

De remarcat ca nu putem folosi teorema lui l'Hopital.

[Citat] 2. Fie legea x*y=xy-2x-2y. Determinati a apart R ai G=[a,+infinit)sa fie parte stabila a lui R.

O conditie necesara este

. Functia aceasta de gradul intai are semn pozitiv catre infinit daca si numai daca are coeficientul lui x strict pozitiv. Deducem a>2.

Pe de alta parte,

, deci

.

Demonstram ca aceasta conditie este si suficienta. Fie

. Atunci

. Am folosit monotonia (crescatoare) a functiei de gradul intai cu coeficientul dominant pozitiv.

Putem reveni asupra problemei :

"[Citat]
3. Calculati lim x->infinit din 1/x integrala de la 0 la x din 1/4+cost dt "?

Sunt ceva indicatii mai sus, dar exista totusi nelamuriri.

Multumesc