Nu ati gasit totusi o rezolvare (si mai grea) pt. monotonia sirului de la 1c?

[Citat] Nu ati gasit totusi o rezolvare (si mai grea) pt. monotonia sirului de la 1c?

Acea parte asupra monotoniei nu este necesara pentru problema de Bac si reprezinta doar un comentariu al nostru.

Va intereseaza intr-adevar acea parte suplimentara si ati dori sa vedeti o demonstratie?

Nu e greu sa demonstram ca, pentru orice

, ecuatia in variabila y

admite o solutie unica

, iar aceasta solutie verifica in plus

.

Conform teoremei functiilor implicite (anul I de faculta), exista o functie derivabila

ce satisface ecuatia de mai sus. Rescriem aceasta ecuatie sub forma

Derivam aceasta egalitate (toata tarasenia de mai sus este necesara numai si numai pentru a avea voie sa derivam!). Rezulta

de unde

(Ultima egalitate de mai sus a folosit ecuatia originala). Se vede ca membrul drept este pozitiv. De aici rezulta ca

, deci functia

este strict crescatoare. In termenii problemei la care ne referim, rezulta

Fara teorema functiilor implicite noi am gasit anul trecut (si aici vorbesc din amintiri) o solutie infecta.