Fie S o multime de 7 numere naturale disticte cuprinse intre 1 si 24.
Sa se arate ca S are doua submultimi cu aceasi suma a elementelor.

Sa presupunem ca am ales 7 numere cuprinse intre 1 si 24

Se stie ca numarul submultimilor ce se pot forma cu 7 elemente este egal cu

. Excluzand submultimea vida, raman 127 submultimi posibile.

Daca vom dovedi ca numarul sumelor S avand ca termeni cele 7 numere alese (sume de 1,2,..., maxim 7 termeni) este mai mic decat 127, atunci demonstratia este incheiata.

Fie m acest numar al sumelor.

Evident, pentru orice suma S avem:

, deci

.

Deoarece 147>127, cautam sa restrangem mai mult plaja valorilor sumelor S.

Daca a este cel mai mic dintre cele 7 numere, atunci

, adica

.

Cum 130>127, restrangerea gasita nu a fost suficienta, dar dupa aceeasi idee, daca notam a<b<c<d<e<f<g cele 7 numere (asadar am notat cu a,b cele mai mici numere) atunci singurele sume mai mici decat a+b pot fi numerele insele, a,b,c,d,e,f,g, iar pentru oricare alta suma S are loc relatia:

, adica

.

Cum 118<127, am obtinut ca numarul sumelor este mai mic decat numarul submultimilor, si in concluzie vor exista doua submultimi pentru care suma elementelor este aceeasi.

O solutie asemanatoare cu cea de mai sus.
Fie A o submultime a lui S cu k elemente,

. Am exclus cazurile pentru multimea vida si multimea S.
Asociem multimii A suma elementelor ei.
Fie M multimea submultimilor multimii S, formate cu k elemente din cele 7 elemente ale lui S,

. Multimea M contine

elemente.
Fie N multimea formata din sumele elementelor submultimilor din multimea M. Consideram functia definita pe M cu valori in N care asociaza fiecarei multimi A din M suma elementelor ei. Aceasta suma este cuprinsa intre 1 si 129 (19+20+21+22+23+24). Dar functia nu poate lua toate valorile de la 1 la 129. Fie

. Daca

atunci suma elementelor lui A nu poate lua valorile 1, 2, 3 si 4. Daca a este 1 sau 2 sau 3 sau 4 atunci suma maxima ar putea fi 111, 112, 113 sau 114.
Deci numarul de elemente din multimea N este cel mult 125 (chiar mai mic). Dar orice functie definita pe M cu valori in N nu este injectiva. Deci exista doua submultimi A si B care au aceeasi suma a elementelor.

Frumoase solutii. Felicitari.

O problema deschisa...Cate multimi S (nr. min.) au aceeasi suma a elementelor?

[Citat] O problema deschisa...Cate multimi S (nr. min.) au aceeasi suma a elementelor?

Care este enuntul exact?

Inteleg ca ne uitam la multimea
IM = { S : |S|=7 si S submultime in {1,2,...,24} }
si la functia
f : IM -> IN care duce S din domeniul de definitie IM in f(S)=suma elementelor din S. De exemplu, f( {1,2,3,4,5,6,7} ) = 28 este minima si se ia numai aici.
O singura multime S are suma elementelor egala cu 28.
Daca m-as fi legat de 27, as fi dat...

Care este deci enuntul, pentru ca eu in mod voit nu am inteles decat cele de mai sus.

Am avut o greseala de rationament! nu e valabila intrebarea...