Aratati ca ecuatia

are cel putin sase solutii distincte in

.

?i permut?rile.

Am scris o bucata mica de cod pentru a vedea ce solutii mai sunt pentru o putere mai mica a lui 3 (de putere divizibila cu 3), in afara de acea
1 6 8
pe care am mai vazut-o undeva pe aceasta pagina. (Avem 1^3+6^3+8^3 = 9^3...)
(Caut solutii i,j,k a.i i<=j<=k doar.)
Am dat repede de (cod gp/pari):

cod

(20:04) gp > {Nr_de_Rep( N ) = local(M,i,j,k);
M = floor( N^(1/3) );
count = 0;
for( i=1,M, for( j=i,M, for( k=j,M,
if( N-i^3-j^3-k^3, ,
print(i, " ",j, " ",k, " ");
count = count+1 ) ) ) );
count; }
(20:04) gp >

Nr_de_Rep( 3^18 )
1 242 720
16 470 657
81 486 648
153 256 716
225 432 666
%6 = 5

Am dat foarte repede de cinci solutii diferite pentru ecuatia diofantiana data.
Unele dintre ele nu sunt formate din trei numere (i,j,k) fara divizor (al tuturora) comun, deci "descind" la solutii pentru 3 la o putere mai mica.

Cu ceva mai multa rabdare am lasat acelasi program sa mearga pentru "urmatoarea" putere a lui 3 relevanta pentru problema, a 21-a, si am obtinut:
3 726 2160
48 1410 1971
243 1458 1944
339 394 2180
459 768 2148
675 1296 1998
687 1595 1825
787 1436 1914
847 1281 1979
%7 = 9
Cred ca trebuie sa-i invatam pe copiii astia si sa programeze.
(O metoda de calcul mai buna decat "ciurul" implementat mai sus este una in care calculam solutiile modulo cateva numere prime "mici" - cel mai bine de forma 3k+1 - al caror produs sa treaca de 2^21, urmand sa le "liftam" corespunzator folosind lema chineza a resturilor.)
Daca am avea o pagina de "(matematica si) CAS",
CAS ~ "computer algebra systems",
as plasa asa ceva acolo.

Altfel trebuie sa fac apel la aritmetica in inelul factorial

unde u este o unitate in acest inel, fiind o radacina de ordinul 6 a unitatii in corpul numerelor complexe.