Aratati ca ecuatia

unde

are un numar impar de solutii.

Mai exact,trei solutii.

[Citat] Aratati ca ecuatia unde are un numar impar de solutii.

Pentru

rezulta imediat solutia

. Cum ecuatia este simetrica in x si y rezulta ca celelalte solutii sunt in numar par.

In privinta numarului de solutii, ecuatia mai are si solutiile:

Il exprimam ori pe x ori pe y cu ajutorul celeilalte necunoscute si ne folosim de faptul ca lucram in Z.

De aici il aflam pe y.

a se vedea si :
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=18121,ultimele postari

Problema noastra difera de cea de aici

http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=18121

prin faptul ca

parca nu-s chiar trei solutii...!

[Citat] parca nu-s chiar trei solutii...!

Nu,desigur; am citit in prima faza "+" in loc de "*" langa Z,si apoi n-am mai corectat,desi am vazut,ca sa nu imi stric "brand-ul" de autoare de postari "aiurea".
Am postat totusi si link-ul, asa,ca o completare....

Argumentul de mai sus care observa ca ecuatia data este simetrica in x si y, deci cu (x,y) este solutie si (y,x), impreuna cu faptul ca exista o solutie care "sta pe loc" la permutarea componentelor, clarifica faptul ca avem un numar impar de solutii. Problema propusa initial este rezolvata.

Care sunt toate solutiile? Ca si pe
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=18121, ecuatia data se rescrie sub forma:
(x-2011)(y-2011) = 2011^2 .
Ramane sa parcurgem cu (x-2011) toti divizorii INTREGI ai lui 2011^2, lucru necesar pentru a da de o solutie. 2011 este prim.
Pentru cei sase divizori "d" din ZZ ai lui 2011^2 luam fiecare sansa in parte.
Notam cu "e" divizorul complementar, e = 2011^2/d.
Doar in cazul d=-2011, e=-2011 nu dam de o solutie in "(ZZ fara 0)".
In celelalte 5 cazuri obtinem cate o solutie.

Ecua?ia

, cu p = nr.prim, admite 5 solu?ii în Z*x Z*
S={(a,d),(b,e),(c,c),(d,a)(e,b)},

unde a=p-1, b=p+1, c=2p, d= -p(p-1), e=p(p+1)

corect! si complet!