Harta unei insule arat? astfel:



Malul insulei este elipsa de ecua?ie

.
Altitudinea insulei este dat? de func?ia

(s? zicem c? unitatea de m?sur? este egal? cu 500 m).

În punctul de coordonate (1/2,1) este un izvor. Determina?i punctul în care apa izvorului se vars? în mare.

Intotdeauna am avut probleme cu fizica, asa ca voi incepe si aduce gandurile pana la un punct in care trebuie sa traduc ceva din fizica in ceva din matematica.

Fie a,b,c > 0.
Consider partea din elipsoidul de ecuatie F(x,y,z) = 0 , x,y,z din IR, care ne intereseaza in problema,

Fie (x,y,z) un punct de pe suprafata (E). Tangenta la (E) in acest punct are directia vectorului ( 2x/(aa) , 2y/(bb) , 2z/(cc) ). Eu caut un vector normat (u,v,w) (de norma 1) tangent la acesta care are coordonata a treia, w, negativa si de modul maxim. (Aici este problema mea legata de traducerea corecta fizica -> matematica.) Daca caut asa ceva si caut bine, atunci trebuie sa distribui

1-ww

pentru uu+vv, deci uu+vv = 1-ww, si din conditia de tangentza combinata cu Cauchy-Schwarz pentru ( u x/(aa) + v y/bb ) rezulta ca trebuie sa iau u>0 si v>0 respectiv proportionali cu x/(aa)>0 si y/bb>0 .

Obtinem astfel un vector tangent care "puncteaza cel mai in jos", de norma unu, de forma (u,v,w) = ( u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) ) .
Eventual renuntam la normare (dar punctul de iesire in ocean ramane), nu vrem poate sa dam chiar de parametrizarea "lungime", renormam, uitam complet -cum am facut deja- de forta centrifuga ce tinde sa scoata apa din albie, dam de un sistem de trei ecuatii diferentiale in trei necunoscute x=x(t), y=y(t), z=z(t) de forma

x'(t) = u( x(t),y(t),z(t) )
y'(t) = v( x(t),y(t),z(t) )
z'(t) = w( x(t),y(t),z(t) )

dintre care primele doua sunt (pot fi la normare corespunzatoare) liniare, dar la cea in z am nevoie de calcul numeric.
E asta drumul bun?

Încotro curge apa? S? ne urm?m bunul sim?: apa curge întotdeauna în direc?ia perpendicular? curbei de nivel.

Fie

un punct situat de-a lungul pârâului. Not?m

Punctul considerat se afl? deci pe curba de ecua?ie

care întâmpl?tor este o elips? (acest detaliu nu ne intereseaz?). O observa?ie util? este urm?toarea: într-o vecin?tate a punctului

orice punct

de pe curb? satisface o rela?ie de tipul

, unde f este o func?ie derivabil?.

Ecua?ia curbei de nivel de mai sus se deriveaz? ?i se ob?ine:

Re?inem de aici membrul drept, adic? panta tangentei la curba de nivel în punctul fixat la început. Dac? ne gândim ?i la traiectoria apei, ca fiind tot graficul unei func?ii g (m?car într-o vecin?tate a punctului în care ne situ?m), atunci (deoarece pantele a dou? drepte perpendiculare au produsul -1) ob?inem

Uit?m pentru moment c? am fixat acel punct. Ob?inem rela?ia

sau (prin ingtegrare)

De aici rezult? c? traiectoriile posibile ale apei, sunt curbele de ecua?ii

Dintre aceste curbe, singura care trece prin punctul (1/2,1) este

. Intersec?ia acesteia cu elipsa

satisface ecua?ia

... ne cerem scuze c? problema nu are o solu?ie "frumoas?".

În mod deliberat am omis multe detalii tehnice ( x=0 sau y=0, etc. ). În facultate argumentele de mai sus se studiaz? sistematic astfel:

• func?ii implicite (faptul c? nu ne intereseaz? formula explicit? a unei func?ii)
  
• ecua?ii diferen?iale (aici avem de a face cu o a?a-zis? ecua?ie cu variabile separate)
  
• multe lucruri legate de ce a spus Gauss mai sus.