Fie

astfel incat

. Sa se demonstreze ca:

P.S.: Exista o solutie "elementara".

Deoarece am probleme cu variante nehomogene, reformulez problema.
Ni se cere echivalent sa aratam inegalitatea:

Suma de mai sus este o suma ciclica dupa (a,b,c) plimbandu-se intre valorile (a,b,c), (b,c,a) si (c,a,b). (Sunt trei termeni.) Prefer sa scriu asa doar pentru a mai economisi spatiu si a pune accentul pe operatii. Un mod de a ne apuca de inteles problema ar fi acum sa luam alte normari in loc de acea normare (a+b+c=2). Eu am incercat cu a^2+b^2+c^2=1, dar nu mi-a placut.
Mi-am dat seama cum merge problema facand un plot al functiei in care am normat a la 1. Explicit, se poate incerca echivalent sa se inteleaga minimul functiei:

Dupa ce i-am dat un plot, mi-am dat seama cam cum trebuie sa lupt pentru o solu?ie.
Punctul dureros pentru h este pe langa b=c=1. Se pare ca este esentia sa ne legam de (b-1) si (c-1)...
Inegalitatea de demonstrat se rescrie (in acest sens la primul pas) succesiv echivalent (pentru a,b,c>0 arbitrare):

Cititorul care a rezistat pana aici este rugat sa incerce aici o secunda sa vada pasul urmator. Este primul si singurul pas la care are loc o minorare sensibila.

Folosind doua inegalitati simple

rezulta ca este de ajuns sa aratam inegalitatea:

Ultima inegalitate este lejera, dupa cum se vede luand a=b=c=1. Vom minora atunci lejer / in mod generos. Ajunge sa folosim pentru primul sumand din suma din partea stanga a ultimei expresii...

Ajunge sa mai adunam ciclic.

P.S. Sper ca nu am gresit pe undeva, am tiparit mai mult orb in firefox...

[Citat] Folosind doua inegalitati simple Daca in membrul drept (cel ce trebuie sa fie mai mic) inlocuim in numitor acel radical cu (a+b+c), numitorul se face mai mic, deci toata fractia mai mare, deci ajunge sa demonstram (conditie suficienta) inegalitatea obtinuta dupa aceasta inlocuire (majorare). In membrul stang avem o expresie de forma sS + tT + uU cu numere s,t,u >= 0 ?i respectiv S,T,U >= 0 care stim cum stau unul fata de altul - daca presupunem f.a.r.g. ca numerele a,b,c sunt in aceasta ordine pe axa. Atunci (a-b), (b-c) ?i (a-c) sunt de asa natura incat (a-c) este (suma celorlalte, deci) cel mai mare. Chiar daca nu stim cum stau (a-b) si (b-c) unul fata de altul, (a-c) este mai mare decat amandoua si factorul de pe langa (a-c)^2 din suma din membrul stang este de asemenea mai mare sau egal cu ceilalti factori. Ne concentram asupra acestui fapt si am vrea sa avem o inegalitate de forma: Daca s,t,u ?i S,T,U sunt de asa natura incat u,U sunt respectiv maxime, atunci are loc: sS + tT + uU este mai mare sau egal cu (s+t+u)(S+T+U) / 3 . Pentru demonstratie nu trebuie sa-l invocam neaparat pe Cebî?ev, vedem ca putem lua f.a.r.g s a fi minim, apoi inlocuind s,t,u cu (s-s), (t-s), (u-s), vedem ca putem lua f.a.r.g. s=0, dupa care avem de demonstrat "acelasi lucru" cu o variabila mai putin. Folosind acest lucru simplu pentru s = (a-b)^2 , etc ...

Mai exact ati folosit "SOS method".

Si eu prefer aceasta metoda pentru inegalitati complicate, pentru ca e rapida (daca stii niste identitati), doar ca in cazul asta radicalul din stanga ingreuneaza mult calculele.

Pentru solutia "elementara" o sa dau doua hinturi (sau solutia intreaga daca doriti), desi probabil ar ajunge doar primul hint. Hintul 1 cere o demonstratie.

Hint 1


Hint 2