Aratati ca daca intr-un paralelipiped dreptunghic suma distantelor de la varfuri la o diagonala este

,unde

este diagonala paralelipipedului,atunci paralelipipedul este cub.

Notam cu a,b,c laturile unei cutii. Fixam o diagonala. Atunci doua varfuri sunt deja pe aceasta diagonala. Mai luam un varf. Pentru a fixa ideile, sa zicem ca este unul dintre cele doua ce sunt unite de o muchie de lungime

cu unul din varfurile diagonalei fixate. Atunci diagonala si muchia aceasta formeaza untriunghi dreptunghic, latura lui de care nu am pomenit nimic, cealalta cateta este de lungime

. Bun, care este distanta de la varf la diagonala (in cutie sau in acest triunghi dreptunghic). Formula ei se obtine calculand in doua moduri dublul ariei triunghiului dreptunghic in cauza, o data ca produsul catetelor, o alta data ca produsul ipotenuzei cu inaltimea ei. Deci distanta de la acest varf la diagonala este

Desigur ca la fel rationam pentru fiecare varf (ce nu se afla pe diagonala). Problema ne da relatia:

Inmultind cu numitorul comun din partea stanga si mai simplificand, rezulta ca avem chiar egalitatea in inegalitatea Cauchy-Schwarz

unde

Cand are loc egalitatea in inegalitatea Cauchy-Schwarz? Cand cei doi "vectori" (a,b,c) si (x,y,z) au aceeasi directie. Rezulta x/a = y/b = z/c.
Deci 1 + (x/a)^2 = ...
Deci a=b=c.